Introdução

Neste texto denotaremos por $S^{2}$ a esfera unitária de $\mathbb{R}^{3}$ definida pelo conjunto $S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\,\vert\, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$.

Seja $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ uma função diferenciável ($f$ pode ser de classe $C^{1}$) tal que exista uma vizinhança $V$ de $S^{2}$ em $\mathbb{R}^{3}$ em que $f\vert V$ é um difeomorfismo. Logo $f\vert S^2$ é injetiva. Seja $S=f(S^2)$. Pela definição vemos que $S$ não tem auto-interseções e que $S$ é uma superfície difeomorfa à esfera $S^2$. Dessa forma, $f$ descreve $S$ completamente.

Seja $\mathcal{T}$ uma triangulação de $S$. Dizemos que $\mathcal{T}$ é regular se todos os triângulos de $\mathcal{T}$ são equiláteros. Nesse caso, como $S$ é conexa, então todas as arestas de $\mathcal{T}$ tem o mesmo comprimento.

Infelizmente esse tipo de triangulação é muito rara na prática, por exemplo: $S^{2}$ só admite triangulação regular se a quantidade de triângulos for 4 (tetraedro), 8 (octaedro) ou 20 (icosaedro).

Neste trabalho, introduzimos o conceito de triangulação ``quase regular'' que definimos da seguinte forma:

Seja $l\in \mathbb{R}_{+}$. Uma triangulação $\mathcal{T}$ de uma superfície $S$ é quase regular de lado $l$ se os triângulos $T\in \mathcal{T}$ que não satisfazem as condições abaixo são uma minoria desprezível:

(i) $T$ é triângulo equilátero de lado $l$;

(ii) $T$ é triângulo isósceles como dois lados de medida $l$ e o ângulo entre eles é maior que $45^{o}$ e menor que $90^{o}$;

(iii) todos os ângulos de $T$ medem mais que $45^{o}$ e menos que $90^{o}$, e a área de $T$ é aproximadamente igual à área do triângulo equilátero de lado $l$.

A condição (iii) é apenas uma condição técnica.

Dizemos que uma triangulação quase regular de lado $l$ é ótima se todos os triângulos de $\mathcal{T}$ satisfazem (iii), e destes, a quantidade que satisfaz (ii) é máxima e a quantidade destes últimos que satisfaz (i) também é máxima.

Neste trabalho descrevemos um método para fazer uma triangulação quase regular de $S$, desde que $S$ seja dada por uma função $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ como descrito acima.