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Seja $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ um difeomorfismo $C^2$ numa vizinhança da esfera $S^{2}$ e $S$ a superfície imagem de $S^{2}$ por $f$, ou seja, $S=f(S^{2})$.

Podemos parametrizar $S^{2}$ com duas cartas: $(\varphi_{-1},\mathbb{R}^{2})$ e $(\varphi_{1},\mathbb{R}^{2})$, onde $\varphi_{-1}$ e $\varphi_{1}$ são dadas por projeção estereográfica:

$\varphi_{i}(u,v)=(au,av,(a-1)i)$, $a=\dfrac{2}{u^{2}+v^{2}+1}$, $i\in\{-1,1\}$

com mudanças de coordenadas:

$\varphi_{-1}^{-1}\circ\varphi_{1}(u,v)=\varphi_{1}^{-1}\circ\varphi_{-1}(u,v)=(au,av)$, $a=\dfrac{1}{u^{2}+v^{2}}$, $(u,v)\in\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$

onde $\varphi_{-1}(\mathbb{R}^{2})=S^{2}\backslash\{(0,0,1)\}$ e $\varphi_{1}(\mathbb{R}^{2})=S^{2}\backslash\{(0,0,-1)\}$.

A notação acima é para explicitar qual polo de $S^{2}$ (relativo à terceira coordenada) é coberto pela carta, ou seja, $(0,0,-1)\in\varphi_{-1}(\mathbb{R}^{2})$ e $(0,0,1)\in\varphi_{1}(\mathbb{R}^{2})$.

Usando estas informações, podemos parametrizar $S$ com duas cartas $(f_{-1},\mathbb{R}^{2})$ e $(f_{1},\mathbb{R}^{2})$, onde

$f_{-1}=f\circ\varphi_{-1}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow S\backslash\{f(0,0,1)\}$ e $f_{1}=f\circ\varphi_{1}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow S\backslash\{f(0,0,-1)\}$

Note que as funções de mudança de coordenadas são as mesmas que foram usadas para $S^2$:

$f_{-1}^{-1}\circ f_{1}(u,v)=\varphi_{-1}^{-1}\circ f^{-1}\circ f \circ\varphi_{1}(u,v)=\varphi_{-1}^{-1}\circ\varphi_{1}(u,v)=(au,av)$,

$f_{1}^{-1}\circ f_{-1}(u,v)=\varphi_{1}^{-1}\circ f^{-1}\circ f \circ\varphi_{-1}(u,v)=\varphi_{1}^{-1}\circ\varphi_{-1}(u,v)=(au,av)$, $a=\dfrac{1}{u^{2}+v^{2}}$, $(u,v)\in\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$