Descrição do algoritmo

Dada a parametrização de $S$ como acima. O primeiro passo é triangular um polígono $P_{-1}\subset\mathbb{R}^2$ tal que $(0,0)\in\mathbb{R}^2$ pertença ao interior de $P_{-1}$. Por simplicidade, exigimos que $(0,0)$ seja um vértice dessa triangulação, de forma que a imagem dos vértices dessa triangulação por $f_{-1}$ induza uma triangulação quase regular sobre $S$ que tenha $f_{-1}(0,0)=f(0,0,-1)$ como vértice. Veja a Figura 1:

A execução do algoritmo descrito neste texto exige que todo triângulo da triangulação de $P_{-1}$ que tenha vértice em $(0,0)$ não tenha vértice no bordo de $P_{-1}$. O motivo é que a mudança de coordenadas leva retas que não passam pela origem de uma carta em círculos passando pela origem da outra carta. Visto que o algoritmo calcula pontos ao longo de retas, antes de fazermos a mudança de coordenadas é necessário que as retas-suporte das arestas do bordo de $P_{-1}$ estejam suficientemente distantes da origem, isso evita indeterminações na execução do algoritmo.

Feito isso, vemos que a imagem dos vértices do bordo de $P_{-1}$ por $f_{-1}$ está contida em $f_{-1}(\mathbb{R}^2)\cap f_1(\mathbb{R}^2)$. Posso então mudar as coordenadas desses pontos e então usar a carta $(f_{1},\mathbb{R}^{2})$. A poligonal fechada obtida ligando-se estes novos pontos na mesma ordem que seus correspondentes estavam ligados em $P_{-1}$ limita um polígono $P_{1}\subset\mathbb{R}^2$ que representa o restante da área de $S$ que ainda não foi triangulada. Veja a Figura 1:

Figura:

Agora, triangulamos o polígono $P_1$ de forma que a imagem dos vértices dessa triangulação por $f_1$ induza uma triangulação quase regular sobre o restante de $S$. Visto que a imagem dos vértices do bordo de $P_{-1}$ por $f_{-1}$ e a imagem dos vértices do bordo de $P_1$ por $f_1$ coincidem, concluimos que a união das duas triangulações obtidas acima é uma triangulação quase regular de $S$.