Funções para interpolação de pontos aplicado à Modelagem Geométrica

Autor: André Claudino
Disciplina: Sistemas Gráficos 3D 2007
IMPA – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada

Professor: Luiz Velho

Introdução

O projeto tem como objeto básico a utilização de pontos de controle no sistema base da modelagem em lugar de funções paramétricas e primitivos mais complexos.

Os pontos são primitivos simples: simplicidade essa observada tanto no que diz respeito a sua fácil implementação como no que diz respeito a sua baixa capacidade. A estrutura de um ponto como considerado no trabalho leva em conta sua posição e atributos de cor, mas poderia levar em consideração atributos como sua massa, sua densidade ou sua região de influência.

O tratamento de pontos amostrais se aproxima muito do que é feito em trabalhos reais, ou seja, uma reconstrução de determinados corpos a partir de um conjunto de amostras. A digitalização de pontos por profundidade por exemplo leva ao uso de uma amostra de pontos com atributos de cor, que precisam ser interpolados para gerar a imagem mais complexa a qual representam em conjunto.

Lendo este artigo, pode-se simplesmente encarar que as transformações com pontos já são utilizadas na computação gráfica, porém vale deixar mais claro ( oque será feito ao longo do desenvolvimento deste artigo) que aqui a meta é utilizar os pontos como primitivo fundamental, e gerar objetos a partir deles, um ponto será um objeto base da reconstrução, não o produto de uma triangulação ou de amostragens.

Para sanar melhor essa confusão, vejamos a situação dos pontos no paradigma dos quatro universos:

Comecemos avaliando uma equação paramétrica, por exemplo de uma esfera: No Universo Físico uma esfera é uma porção de matéria distribuída de forma homogênea com relação ao volume num determinado espaço tridimensional (obviamente não de forma perfeita). No Universo Matemático, é uma quádrica com equação bem definida que pode ser utilizada para a reconstrução, no Universo de Representação pode ser definida por uma amostra de pontos, e detre mais, da forma mais comum, que é por sua equação paramétrica. No universo de implementação é realizada sua transcrição por algorítimos, sendo gerada uma amostra que é então reconstruída.

Utilizando o conceito de uma esfera como uma reunião de pontos ordenados, independentemente da relação entre eles, teríamos a mesma relação no Universo Físico para uma esfera e para qualquer outro objeto: Um conjunto de pontos ordenados com determinados atributos (como cor, massa etc). No Universo Matemático também teríamos uma reunião de pontos ordenados com atributos, porém agora no Universo de Representação, os pontos seriam dados apenas por algumas amostras selecionadas por algum critério, e a implementação se daria pela reconstrução do intervalo entre estes pontos por alguma forma de interpolação.

Observe que não só é mantida a homogeneidade do conceito de ponto por todos os universos como também é mantida a homogeneidade da transcrição de um objeto no mundo Físico, pois qualquer objeto é um conjunto de pontos ordenados.

O trabalho com a idéia de pontos é bem definida neste aspecto, métodos estatísticos de regressão podem ser utilizados para criar relações entre estes pontos e desenvolver a complexidade deles enquanto conjunto.

A seguir serão vistas algumas aplicações dessa homogeneidade obtida do trabalho com pontos.

Seções seguintes:

Interpolação/Interpolação Linear/Interpolação de Bézier/Interpolação por Splines/Recorte/Referências