O cálculo das arestas

Denotemos por $S^1$ o conjunto dos vetores unitários de $\mathbb{R}^2$, ou seja, $S^1=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2\,\vert\,u^2+v^2=1\}$. Dados $g:\mathbb{R}^2\rightarrow S$ uma função de classe $C^1$, $p_0\in\mathbb{R}^2$ e $\textbf{t}\in S^1$. Definamos a função $g_{p_0,\textbf{t}}:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ por

$$g_{p_0,\textbf{t}}(a)=\Vert g(p_0)-g(p_0+a\textbf{t})\Vert.$$

Da definição de $g_{p_0,\textbf{t}}$, vemos que para todo $p_0\in\mathbb{R}^2$ e todo $\textbf{t}\in S^1$ existe $l\in \mathbb{R}^+$ tal que $g_{p_0,\textbf{t}}\vert(0,l+\delta)$ é estritamente crescente para algum $\delta >0$ e que $g_{p_0,\textbf{t}}\vert(0,l+\delta)$ tem a mesma classe de diferenciabilidade de $g$. Se $l$ tem a propriedade acima dizemos que $l$ é compatível com a geometria de $S$.

Problema1:

Dado $l\in \mathbb{R}^+$ compatível com a geometria de $S$, encontrar $a\in\mathbb{R}^+$ tal que $g_{p_0,\textbf{t}}(a)=l$.

Para a solução desse problema podemos usar o método numérico de Newton, como segue:

Primeiro tomo $a\in\mathbb{R}^+$ tal que $0\leq g_{p_0,\textbf{t}}(a)\leq l$ e executo o algoritmo:

while ( $\Vert l-g_{p_0,\textbf{t}}(a)\Vert<\varepsilon$)

{

$a+=(l-g_{p_0,\textbf{t}}(a))/g'_{p_0,\textbf{t}}(a)$;

} return a;

Onde $\varepsilon >0$ é tão pequeno quanto quisermos. A cada vez que $a$ é incrementado pelo algoritmo é necessario verificar se $g_{p_0,\textbf{t}}((0,a])\subset (0,l+\delta)$, caso isso não aconteça diminuimos $a$. Esse método permite inserir arestas de comprimento $l$ a partir de qualquer ponto de $S$.